Question

全不為零的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=2，S_n=

n(1+an)

2

，求證：對任意的不小于2的正整數(shù)n，不等式lna_n+1＞

an-1

an3

+lna_n都成立．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：把數(shù)列遞推式變形得到數(shù)列{

an-1

n-1

}是常數(shù)數(shù)列，求出

a2-1

2-1

=1后即可得到數(shù)列的通項公式，然后構造函數(shù)
f（x）=ln(x+1)-

x-1

x3

-lnx，利用導數(shù)證明函數(shù)在x≥2時為增函數(shù)，取x=n得到要證明的不等式．

解答： 證明：n=1時，a1=S1=

1×(1+a1)

2

，a₁=1；
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

n(1+an)

2

-

(n-1)(1+an-1)

2

，
整理，得（n-2）a_n=（n-1）a_n-1-1，
等式兩邊同除以（n-1）（n-2），得

an

n-1

=

an-1

n-2

-

1

(n-1)(n-2)

，
∴

an-1

n-1

=

an-1-1

n-2

，
∴數(shù)列{

an-1

n-1

}是常數(shù)數(shù)列．
又

a2-1

2-1

=1，
∴

an-1

n-1

=1，a_n=n．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n．
lna_n+1=ln（n+1），

an-1

an3

+lnan=

n-1

n3

+lnn．
構造函數(shù)f（x）=ln(x+1)-

x-1

x3

-lnx，
f′(x)=

1

x+1

-

x3-3x2(x-1)

x6

-

1

x

=

1

x+1

-

3-2x

x4

-

1

x

=

(x2+1)(2x2-1)-3

x4(x+1)

．
當x≥2時，f′（x）＞0．
∴f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，
又f(2)=ln3-

1

8

-ln2＞0．
∴對任意的不小于2的正整數(shù)n，不等式lna_n+1＞

an-1

an3

+lna_n都成立．

點評：本題考查了由數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項公式，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是壓軸題．