Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，常數(shù)．

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)；

（2）函數(shù)的導數(shù)，是否存在無數(shù)個，使得為函數(shù)的極大值點？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1（2）存在

【解析】【試題分析】（1）對函數(shù)求導后得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用二分法判斷函數(shù)在給定區(qū)間上只有一個零點.（2）原命題等價于，存在無數(shù)個，使得成立，求得的表達式，構(gòu)造為函數(shù)，利用導數(shù)證得存在負值即可.

【試題解析】

（1），當時， 單調(diào)遞減；當時， 單調(diào)遞增；

因為，所以存在，使，

且當時， ，當時， ．

故函數(shù)在區(qū)間上有1個零點，即．

（2）（法一）當時， ．

因為當時， ；當， ．

由（1）知，當時， ；當時， ．

下證：當時， ，即證．

，

記…

，所以在單調(diào)遞增，

由，

所以存在唯一零點，使得，且時， 單調(diào)遞減，

時， 單調(diào)遞增．

所以當時， ．……

由，得當時， ．

故．

當時， 單調(diào)遞增；

當時， 單調(diào)遞減．

所以存在，使得為的極大值點．

（2）（法二）因為當時， ；當， ．

由（1）知，當時， ；當時， ．

所以存在無數(shù)個，使得為函數(shù)的極大值點，即存在無數(shù)個，使得成立， ①…由（1），問題①等價于，存在無數(shù)個，使得成立，

因為，

記…

因為，當時， ，所以在單調(diào)遞增，因為，

所以存在唯一零點，使得，且當時， 單調(diào)遞減；當時， 單調(diào)遞增；

所以，當時， ， ②…

由，可得，代入②式可得，

當時， ，

所以，必存在，使得，即對任意有解，

所以對任意，函數(shù)存在極大值點為．…