Question

已知一四棱錐P-ABCD的三視圖如下，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論；
（2）若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，求證PA∥平面BDE；
（3）求由點(diǎn)A繞四棱錐P-ABCD的側(cè)面一周回到點(diǎn)A的最短距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由ABCD是正方形可得BD⊥AC，由PC⊥底面ABCD可得BD⊥PC，由線面垂直的判定定理得BD⊥平面PAC，進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)得到不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE
（2）連接AC交BD于F，連接EF，由中位線定理及線面平行的判定定理可證得PA∥平面BDE；
（3）（3）將四棱錐的側(cè)面沿PA展開(kāi)，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間線段最短，解△PAA′可得答案．
解答：解：（1）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE
證明如下：連接AC，
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
∵PC⊥底面ABCD 且BD?平面ABCD
∴BD⊥PC  …（2分）
又∵AC∩PC=C
∴BD⊥平面PAC     …（3分）
∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE?平面PAC
∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE      …（4分）
證明：（2）連接AC交BD于F，連接EF，則點(diǎn)F為BD的中點(diǎn)，
又點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，
∴EF∥PA，
又EF?平面BDE，
∴PA∥平面BDE…（9分）
（3）將四棱錐的側(cè)面沿PA展開(kāi)，如圖示，則AA′即為所求．
；
；；…（12分）
∴；…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)及判定定理，直線與平面平行的判定定理，多面體表面上的最短距離問(wèn)題，是立體幾何線面關(guān)系及轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，難度中檔．