【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于, 兩點(diǎn),其橫坐標(biāo)分別為 ,線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,且, 恰為函數(shù)的零點(diǎn),求證: .

【答案】(1)當(dāng)時(shí), 內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí), 內(nèi)單調(diào)遞減,在 內(nèi)單調(diào)遞增;(2)見解析.

【解析】試題分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo)后,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,對進(jìn)行討論可得函數(shù)單調(diào)性;(2)由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可知, 又是的零點(diǎn),代入相減化簡得,對求導(dǎo), .令,求得函數(shù).不等式得證.

試題解析:(1)由于的定義域?yàn)?/span>,則.對于方程,其判別式.當(dāng),即時(shí), 恒成立,故內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng),即,方程恰有兩個(gè)不相等是實(shí),令,得,此時(shí)單調(diào)遞增;令,得,此時(shí)單調(diào)遞減.

綜上所述,當(dāng)時(shí), 內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí), 內(nèi)單調(diào)遞減,在, 內(nèi)單調(diào)遞增.

(2)由(1)知, ,所以的兩根, 即為方程的兩根.因?yàn)?/span>,所以, , .又因?yàn)?/span>, 的零點(diǎn),

所以, ,兩式相減得,得.而,所以 .

,由,因?yàn)?/span>,兩邊同時(shí)除以,得,因?yàn)?/span>,故,解得,所以.設(shè),所以,則上是減函數(shù),所以

的最小值為.

所以.

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A.46
B.48
C.50
D.52

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