Question

為提高廣東中小學(xué)生的健康素質(zhì)和體能水平，廣東省教育廳要求廣東各級各類中小學(xué)每年都要在體育教學(xué)中實施“體能素質(zhì)測試”，測試總成績滿分為100分．根據(jù)廣東省標準，體能素質(zhì)測試成績在[85，100]之間為優(yōu)秀；在[75，85）之間為良好；在[60，75）之間為合格；在（0，60）之間，體能素質(zhì)為不合格．

現(xiàn)從佛山市某校高一年級的900名學(xué)生中隨機抽取30名學(xué)生的測試成績?nèi)缦拢?br />65，84，76，70，56，81，87，83，91，75，81，88，80，82，93，
85，90，77，86，81，83，82，82，64，79，86，68，71，89，96．
（1）在答題卷上完成頻率分布表和頻率分布直方圖，并估計該校高一年級體能素質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；
（2）在上述抽取的30名學(xué)生中任取2名，設(shè)ξ為體能素質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望（結(jié)果用分數(shù)表示）．

Answer 1

分析：（1）由題意的數(shù)據(jù)可得分布表和直方圖，可估計優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；
（2）ξ的可能取值為0，1，2，分別可得其概率，可得分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：

分組	頻數(shù)	頻率
[60，65）	1	1 30
[85，90）	6	6 30

說明：頻率分布表對1個、2個、3個給（1分）；對4個給（2分）．
頻率分布直方圖對一個給（1分）；對2個給（2分）．
根據(jù)抽樣，估計該校高一學(xué)生中體能素質(zhì)為優(yōu)秀的有

10

30

×900=300人   …（6分）

（2）ξ的可能取值為0，1，2．…（7分）P（ξ=0）=

C 2 20

C 2 30

=

38

87

，
P（ξ=1）=

C 1 20 C 1 10

C 2 30

=

40

87

，P（ξ=2）=

C 2 10

C 2 30

=

9

87

，…（8分）
（上述3個對一個給1分）
∴ξ分布列為：

ξ	0	1	2
1-	38 87	40 87	9 87

…（12分）
所以，數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

38

87

+1×

40

87

+2×

9

87

=

2

3

．…（14分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求解，涉及頻率分布直方圖，屬中檔題．