【題目】在坐標平面上，縱橫坐標都是整數(shù)的點稱為整點.試證：存在一個同心圓的集合，使得：（1）每個整點都在此集體的某一圓周上；（2）此集合的每個圓周上.有且只有一個整點.

【答案】見解析

【解析】

假設同心圓圓心為P（x，y）任兩點整點A（a，b）和B（c，d），其中a = c，b = d不同時成立.

.

，

.

∵，a = c，b = d不同時成立，

∴要使，只需取x為任意無理數(shù)，y取任意分母不為2的非整有理數(shù)即可（或x，y各取形如的最簡非同類根式的無理數(shù)，其中）.

如取（或），則任意兩個不同整點到的距離都不相等.

把所有整點到P點的距離從小到大排成一列，以為圓心，以為半徑作的同心圓集合即為所求.

（注：P點坐標還可其他超越數(shù)，如等等.）

證明三 設坐標平面上任兩個不同整點A（a，b）和B（c，d），分三類情況討論.

（1），中點，AB垂直平分線方程為；

（2），中點，AB垂直平分線方程為；

（3），中點，AB垂直平分線方程為.

顯然，只有在上述三類直線上的點才有可能到平面上某兩整點的距離相等.若取，則必然不在上述三類直線上，則到任意兩個不同整點的距離都不相等.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知的一個頂點為拋物線的頂點， ， 兩點都在拋物線上，且.

（1）求證：直線必過一定點；

（2）求證： 面積的最小值.

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【題目】國內(nèi)某汽車品牌一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)用表示，據(jù)統(tǒng)計，隨機變量的概率分布如下：

0

1

2

3

（1）求的值；

（2）若每個月被消費者投訴的次數(shù)互不影響，求該汽車品牌在五個月內(nèi)被消費者投訴3次的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為，為軸上的點.

（1）過點作直線與相切，求切線的方程；

（2）如果存在過點的直線與拋物線交于，兩點，且直線與的傾斜角互補，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】生活中萬事萬物都是有關聯(lián)的，所有直線中有關聯(lián)直線，所有點中也有相關點，現(xiàn)在定義：平面內(nèi)如果兩點、都在函數(shù)的圖像上，而且滿足、兩點關于原點對稱，則稱點對（、）是函數(shù)的“相關對稱點對”（注明：點對（、）與（、）看成同一個“相關對稱點對”）.已知函數(shù)，則這個函數(shù)的“相關對稱點對”有（ ）

A.0個B.1個C.2個D.3個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點的極坐標為，設直線與曲線相交于兩點．

（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；

（2）求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，設的兩個極值點，（）恰為的零點，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，，的部分圖象如圖所示，有下列結論：

①函數(shù)的最小正周期為

②函數(shù)在上的值域為

③函數(shù)的一條對稱軸是

④函數(shù)的圖象關于點對稱

⑤函數(shù)在上為減函數(shù)

其中正確的是______.（填寫所有正確結論的編號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，，D，E分別為BC，PD的中點，F為AB上一點，且.

（1）求證：平面PAD；

（2）求證：平面PAC；

（3）若二面角為60°，求三棱錐的體積.

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