Question

已知f(n)＝1＋n∈N?)，g(n)＝2(－1)(n∈N?)．

(1)當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，分別比較f(n)與g(n)的大小(直接給出結(jié)論)；

(2)由(1)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)>g(1)；當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)>g(2)；當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)>g(3)．(2)f(n)>g(n)(n∈N*)，

【解析】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)>g(1)；當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)>g(2)；當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)>g(3)．

(2)猜想：f(n)>g(n)(n∈N*)，即1＋>2(－1)(n∈N*)．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝2(－1)，f(1)>g(1)．

②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，即1＋>2(－1)．

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝1＋＋>2(－1)＋＝2＋－2，而g(k＋1)＝2(－1)＝2－2，

下面轉(zhuǎn)化為證明：.

只要證：2(k＋1)＋1＝2k＋3>2，

需證：(2k＋3)2>4(k＋2)(k＋1)，即證：4k2＋12k＋9>4k2＋12k＋8，此式顯然成立．

所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也成立．綜上可知：對(duì)n∈N*，猜想都成立，

即1＋(n∈N*)成立．