Question

5．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y-xy=0，則x+2y的最小值為8y的取值范圍是（1，+∞）．

Answer 1

分析 正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y-xy=0，利用基本不等式的性質(zhì)可得：x+2y=$\frac{1}{2}$2xy≤$\frac{1}{2}（\frac{x+2y}{2}）^{2}$，解出即可得出最小值．由正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y-xy=0，可得x=$\frac{2y}{y-1}$＞0，解出即可得出y的取值范圍．

解答 解：∵正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y-xy=0，
∴x+2y=$\frac{1}{2}$2xy≤$\frac{1}{2}（\frac{x+2y}{2}）^{2}$，化為（x+2y）（x+2y-8）≥0，解得x+2y≥8，當(dāng)且僅當(dāng)y=2，x=4時(shí)取等號(hào)．
則x+2y的最小值為8．
由正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y-xy=0，∴x=$\frac{2y}{y-1}$＞0，∴y（y-1）＞0，解得y＞1．
∴y的取值范圍是（1，+∞）．
故答案分別為：8；（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．