Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)P是點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線ι交拋物線與A，B兩點(diǎn)．
（1）若△AOB的面積為，求直線ι的斜率；
（2）試問(wèn)在x軸上是否存在不同于點(diǎn)P的一點(diǎn)T，使得TA，TB與x軸所在的直線所成的銳角相等，若存在求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易求拋物線方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)l：y=k（x+1）（k≠0），代入拋物線方程消掉y得x的二次方程，韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式及三角形面積公式可表示出△AOB的面積，令其為，解出k即可；
（2）假設(shè)存在T（a，0）滿足題意，由題意可得k_AT+k_BT=0，整理為關(guān)于點(diǎn)A、B橫坐標(biāo)的等式，代入韋達(dá)定理可得關(guān)于a的方程，解出即a值可作出判斷；
解答：（1）由題意知：拋物線方程為：y²=4x且P（-1，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知直線l斜率存在，設(shè)l：y=k（x+1）（k≠0），代入y²=4x得，k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
由△＞0得-1＜k＜1，，
|AB|=，h=，
由=，得k=，滿足△＞0，
（2）假設(shè)存在T（a，0）滿足題意，
因?yàn)門A，TB與x軸所在的直線所成的銳角相等，
所以直線TA，TB的斜率之和為0，則
=
==0，
∴k[2x₁x₂-（a-1）（x₁+x₂）-2a]=0，即，
整理得：a-1=0，解得a=1，
∴存在T（1，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的斜率、拋物線方程及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，存在性問(wèn)題，往往先假設(shè)存在，然后由此進(jìn)行推導(dǎo)，無(wú)矛盾則存在，否則不存在．