Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，BC=AC=2，AA₁=4，D為棱CC₁上的一動(dòng)點(diǎn)，M、N分別為△ABD，△A₁B₁D的重心．
（1）求證：MN⊥BC；
（2）若二面角C-AB-D的大小為arctan

2

，求點(diǎn)C₁到平面A₁B₁D的距離；
（3）若點(diǎn)C在△ABD上的射影正好為M，試判斷點(diǎn)C₁在△A₁B₁D的射影是否為N？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）建立坐標(biāo)系分別寫出兩條直線所在的向量，利用向量的數(shù)量積等于0可得兩個(gè)向量垂直，進(jìn)而得到兩條直線相互垂直．
（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量之間的基本運(yùn)算求出二面角的平面角的余弦值，進(jìn)而得到一個(gè)關(guān)于a的等式求出a的數(shù)值，再求出平面的一條斜線所在的向量在法向量上的射影即可得到點(diǎn)到平面的距離．
（3）因?yàn)辄c(diǎn)C在△ABD上的射影正好為M，所以

CM

⊥

AD

?

CM

•

AD

=0進(jìn)而求出a的數(shù)值，再根據(jù)對(duì)稱性得到C₁在平面A₁B₁D的射影正好為N．

解答：解：（1）以C₁為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)C₁D=a（0≤a≤4），依題意有：D（0，0，a），A（2，0，4），B（0，2，4），
C（0，0，4），C₁（0，0，0）
因?yàn)镸、N分別為△ABD，△A₁B₁D的重心．
所以M(

2

3

，

2

3

，

8+a

3

)，N(

2

3

，

2

3

，

a

3

)?

NM

=(0，0，

8

3

)
∵

NM

•

CB

=(0，0，

8

3

)•(0，1，0)=0
∴MN⊥BC
（2）因?yàn)槠矫鍭BC的法向量

n1

=(0，0，-1)，設(shè)平面ABD的法向量

n2

=(x1，y1，z1)
則有

AD • n2 =0 AB • n2 =0

?

(-2，0，a-4)•(x1，y1，z1)=0 (-2，2，0)•(x1，y1，z1)=0

?

n2

=(x1，x2，

2

4-a

x1)
令x1=1?

n2

=(1，1，

2

4-a

)，
設(shè)二面角C-AB-D為θ，則有tanθ=

2

?cosθ=

3

3

因此 cosθ=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|=|

2 a-4

2+( 2 4-a )2

|=|

2

2a2-16a+36

|=

3

3

?a=2
設(shè)平面A₁B₁D的法向量為

n3

=(x，y，z)，
則

A1D • n3 =0 A1B1 • n3 =0

?

(-2，0，2)•(x，y，z)=0 (-2，2，0)•(x，y，z)=0

?

n3

=(x，x，x)令x=1有

n3

=(1，1，1)
設(shè)C₁到平面A₁B₁D的距離為d，則d=

C1D • n3

| n3 |

=

2 3

3

（3）若點(diǎn)C在平面ABD上的射影正好為M，則

CM

⊥

AD

?

CM

•

AD

=0
即(

2

3

，

2

3

，

a-4

3

)•(-2，0，a-4)=0?

(a-4)2

3

=

4

3

?a=2，a=6（舍）
因?yàn)镈為CC₁的中點(diǎn)，所以根據(jù)對(duì)稱性可知C₁在平面A₁B₁D的射影正好為N．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系以便利用空間向量解決線面的垂直關(guān)系、平行關(guān)系、空間角、空間建立等問題．