Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2ax（a＞0）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式﹣3＜f（x）＜5；
（2）對(duì)于給定的正數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)M（a），使得在整個(gè)區(qū)間[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；
（3）函數(shù)y=f（x）在[t，t+2]的最大值為0，最小值是﹣4，求實(shí)數(shù)a和t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）=x2﹣4x，

∴不等式﹣3＜f（x）＜5可化為﹣3＜x2﹣4x＜5，

解得 ，

∴不等式的解集為（﹣1，1）∪（3，5）

（2）解：∵a＞0時(shí)，f（x）=x2﹣2ax=（x﹣a）2﹣a2，

∴當(dāng)﹣a2＜﹣5，即a＞ 時(shí)，

要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，

要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=﹣5的較小的根，

即M（a）=a﹣ ；

當(dāng)﹣a2≥﹣5，即0＜a≤ 時(shí)，

要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，

要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=5的較大的根，

即M（a）=a+ ；

綜上，M（a）=

（3）解：f（x）=（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），顯然f（0）=f（2a）=0．

①若t=0，則a≥t+1，且f（x）min=f（a）=﹣4，或f（x）min=f（2）=﹣4，

當(dāng)f（a）=﹣a2=﹣4時(shí)，a=±2，a=﹣2不合題意，舍去

當(dāng)f（2）=4﹣4a=﹣4時(shí)，a=2，

②若t+2=2a，則a≤t+1，且f（x）min=f（a）=﹣4，或f（x）min=f（2a﹣2）=﹣4，

當(dāng)f（a）=﹣a2=﹣4時(shí)，a=±2，若a=2，t=2，符合題意；

若a=﹣2，則與題設(shè)矛盾，不合題意，舍去

當(dāng)f（2a﹣2）=﹣4時(shí)，a=2，t=2

綜上所述，a=2，t=0和a=2，t=2符合題意

【解析】（1）a=2時(shí)，把不等式﹣3＜f（x）＜5化為不等式組﹣3＜x2﹣4x＜5，求出解集即可；（2）由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，討論a＞0時(shí)|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立時(shí)，M（a）最大，此時(shí)對(duì)應(yīng)的方程f（x）=±5根的情況，從而求出M（a）的解析式；（3）f（x）=（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），顯然f（0）=f（2a）=0，分類討論，利用y=f（x）在[t，t+2]的最大值為0，最小值是﹣4，求實(shí)數(shù)a和t的值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．