(2013•濟(jì)寧二模)設(shè)點(diǎn)P(x,y)到直線x=2的距離與它到定點(diǎn)(1,0)的距離之比為
2
,并記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)M(-2,0)的,過(guò)點(diǎn)M的直線l與曲線C相交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),當(dāng)線段EF的中點(diǎn)落在由四點(diǎn)C1(-1,0),C2(1,0),B1(0,-1),B2(0,1)構(gòu)成的四邊形內(nèi)(不包括邊界)時(shí),求直線l斜率的取值范圍.
分析:(I)利用點(diǎn)P(x,y)到直線x=2的距離與它到定點(diǎn)(1,0)的距離之比為
2
,建立方程,化簡(jiǎn)可得曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)出直線方程代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理求出G的坐標(biāo),判斷出G在正方形內(nèi),即可求得直線l斜率的取值范圍.
解答:解:(I)∵點(diǎn)P(x,y)到直線x=2的距離與它到定點(diǎn)(1,0)的距離之比為
2
,
|x-2|
(x-1)2+y2
=
2

x2
2
+y2=1

∴曲線C的方程為
x2
2
+y2=1
;
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),線段EF的中點(diǎn)G(x0,y0),
直線方程代入橢圓方程可得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0
由△>0,可得-
2
2
<k<
2
2

∵x1+x2=
-8k2
1+2k2
,∴x0=
-4k2
1+2k2
,y0=
2k
1+2k2

∵x0=
-4k2
1+2k2
≤0,∴點(diǎn)G不可能在y軸的右邊
∵直線C1B2,C1B1的方程為y=x+1,y=-x-1
∴點(diǎn)G在正方形內(nèi)的充要條件為
y0x0+1
y0>-x0-1
,即
2k2+2k-1<0
2k2-2k-1<0

-
3
-1
2
<k<
3
-1
2

綜上可知,-
3
-1
2
<k<
3
-1
2
點(diǎn)評(píng):本題考查軌跡方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,綜合性強(qiáng).
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π
2
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1
2
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π
2
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1
c
+
9
a
的最小值為( 。

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