△ABC為銳角三角形,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a2+b2=6abcosC,且sin2C=2sinAsinB.
(Ⅰ)求角C的大。
(Ⅱ)若△ABC的面積S=
5
3
4
,求sinA+sinB
的值.
分析:(Ⅰ)利用余弦定理列出關(guān)系式,將已知第一個等式代入表示出cosC的值,第二個等式利用正弦定理化簡,代入表示出的cosC求出cosC的值,即可求出角C的大小;
(Ⅱ)利用三角形的面積公式列出關(guān)系式,將sinC及已知面積代入求出ab的值,進而確定出c的值,求出a2+b2的值,利用完全平方公式求出a+b的值,原式利用正弦定理化簡,將a+b,c及sinC的值代入即可求出值.
解答:解:(Ⅰ)在△ABC中,a2+b2-c2=2abcosC,
將a2+b2=6abcosC代入得:6abcosC-c2=2abcosC,
∴cosC=
c2
4ab
,
∵sin2C=2sinAsinB,
∴利用正弦定理化簡得:c2=2ab,
∴cosC=
2ab
4ab
=
1
2
,
∵C為三角形內(nèi)角,
∴C=
π
3
;
(Ⅱ)由題意得:S=
1
2
absinC=
1
2
ab•
3
2
=
5
3
4
,即ab=5,
∴c2=2ab=10,即c=
10
,
∴a2+b2=6abcosC=15,
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=15+10=25,即a+b=5,
由正弦定理得:
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
,即sinA=
a
c
sinC,sinB=
b
c
sinC,
則sinA+sinB=
a+b
c
sinC=
5
10
×
3
2
=
30
4
點評:此題考查了正弦、余弦定理,三角形的面積公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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在直角坐標(biāo)系xoy中,
、
 j 
分別是與x、y軸正方向同向的單位向量,若△ABC為銳角三角形,且
AB
=2
i
+
j
  ,
AC
=3
i
 +k
j
,則實數(shù)k的取值范圍是
 

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△ABC為銳角三角形,若角θ的終邊過點P(sinA-cosB,cosA-sinC),則y=
sinθ
|sinθ|
+
cosθ
|cosθ|
+
tanθ
|tanθ|
( 。
A、1B、-1C、3D、-3

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