Question

巳知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，滿足：S₂=3，2S_n=n+na_n，n∈N^*，數(shù)列{b_n}是遞增的等比數(shù)列，且b₁+b₄=9，b₂•b₃=8，
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求和T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n=1先求出首項(xiàng)，當(dāng)n≥2時(shí)，仿寫一個(gè)新的等式，兩個(gè)式子相減得到關(guān)于項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，再仿寫一個(gè)新等式，兩個(gè)式子相減得到等差中項(xiàng)，判斷出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)；設(shè)出數(shù)列{b_n}的公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將已知等式用首項(xiàng)及公比不是，解方程組求出首項(xiàng)與公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)．
（2）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，利用錯(cuò)位相減的方法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=1+a₁解得a₁=1
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n=n+na_n    ①
2S_n-1=n-1+（n-1）a_n-1   ②
①-②得2a_n=1+na_n-（n-1）a_n-1   ③
∴2a_n+1=1+（n+1）a_n+1-na_n    ④
④-③得a_n+1+a_n-1=2a_n
又S₃=3，a₁=1
∴a₂=2
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列
∴a_n=n
設(shè)數(shù)列{b_n}的公比為q，則
解得b₁=1，q=2
∴b_n=2^n-1
（2）由（1）得T_n=1+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1
2T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴-T_n=1+2+2²+2³+…+n•2ⁿ=
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1
點(diǎn)評(píng)：通過數(shù)列的項(xiàng)與和之間的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)，一般采用仿寫作差的方法將項(xiàng)與和的關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)的遞推關(guān)系再求通項(xiàng)；求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般采用根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的形式，選擇合適的求和方法．