Question

【題目】設(shè)不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集為M，a、b∈M，
（1）證明：| a+ b|＜ ；
（2）比較|1﹣4ab|與2|a﹣b|的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：記f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|= ，

由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣ ＜x＜ ，則M=（﹣ ， ）．

∵a、b∈M，∴ ，

所以| a+ b|≤ |a|+ |b|＜ × + × =

（2）解：由（1）得a2＜ ，b2＜ ．

因?yàn)閨1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）

=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，

所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．

【解析】（1）利用絕對(duì)值不等式的解法求出集合M，利用絕對(duì)值三角不等式直接證明：| a+ b|＜ ；（2）利用（1）的結(jié)果，說明ab的范圍，比較|1﹣4ab|與2|a﹣b|兩個(gè)數(shù)的平方差的大小，即可得到結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)，掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)，以及對(duì)不等式的證明的理解，了解不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等．