Question

如圖，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A₁DE．若M為線段A₁C的中點(diǎn)，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中，正確的命題是

 

．
①|(zhì)BM|是定值；
②點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)；
③一定存在某個(gè)位置，使DE⊥A₁C；
④一定存在某個(gè)位置，使MB∥平面A₁DE．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面之間的位置關(guān)系

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，則平面MBF∥平面A₁DE，可得④正確；由余弦定理可得MB²=MN²+NB²-2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，M是在以B為圓心，MB為半徑的圓上，可得①②正確．A₁C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直，可得③不正確．

解答： 解：取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，則MF∥DA₁，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A₁DE，∴MB∥平面A₁DE，故④正確
由∠A₁DE=∠MNB，MN=

1

2

A₁D=定值，NB=DE=定值，
由余弦定理可得MB²=MN²+NB²-2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，故①正確．
∵B是定點(diǎn)，∴M是在以B為圓心，MB為半徑的圓上，故②正確，
∵A₁C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直，
∴存在某個(gè)位置，使DE⊥A₁C不正確，故③不正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：掌握線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理及線面角、二面角的定義及求法是解題的關(guān)鍵．