Question

【題目】(2015·湖北）某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)兩種奶制品．生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時，獲利1000元；生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時，獲利1200元．要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個隨機(jī)變量，其分布列為

（Ⅰ）求Z的分布列和均值；該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z（單位：元）是一個隨機(jī)變量．
（Ⅱ） 若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）Z的分布列為：

X	8160	10200	10800
P	0.3	0.5	0.2

；（Ⅱ）0.973.
【解析】設(shè)每天兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為,相應(yīng)的獲利為Z,
則有

目標(biāo)函數(shù)為.當(dāng)時，（1）表示的平面區(qū)域如圖1，三個頂點(diǎn)分別為。將變形為，當(dāng)時，直線:在軸上的截距最大，最大獲利.當(dāng)時，（1）表示的平面區(qū)域如圖2，三個頂點(diǎn)分別為.將變形為，當(dāng)時，直線在軸上的截距最大，最大獲利.當(dāng)時，（1）表示的平面區(qū)域如圖3，四個頂點(diǎn)分別為.將變形為，當(dāng)時，直線:在軸上的截距最大，最大獲利.故最大獲利Z的分布列為

X	8160	10200	10800
P	0.3	0.5	0.2

因此，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大獲利超過10000元的概率,有二項(xiàng)分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為.
二項(xiàng)分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一個考點(diǎn).獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例(概率公式也是如此)，就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計(jì)算更簡單一樣．