Question

已知定點(diǎn)A（-1，0）和B（1，0），P是圓（x-3）²+（y-4）²=4上的一動(dòng)點(diǎn)，求|

PA

|2+|

PB

|2的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先根據(jù)A，B的坐標(biāo)分別表示出

OA

和

OB

，進(jìn)而可求得

OA

+

OB

和

OA

•

OB

的值，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)公式求得

PA

+

PB

=2

PO

，進(jìn)而求得|

PA

|2+|

PB

|2的表達(dá)式，同時(shí)根據(jù)點(diǎn)P在圓上求得

OC

和

OP

，進(jìn)而根據(jù)|

OC

|-|

CP

|≤|

OP

|=|

OC

+

CP

|≤|

OC

|+|

CP

|求得

OP

的范圍，進(jìn)而求得|

PA

|2+|

PB

|2的最大值和最小值

解答：解：設(shè)已知圓的圓心為C，由已知可得

OA

=(-1，0)，

OB

=(1，0)，
∴

OA

+

OB

=0，

OA

•

OB

=-1，又由中點(diǎn)公式得

PA

+

PB

=2

PO

，
所以|

PA

|2+|

PB

|2=(

PA

+

PB

)2-2

PA

•

PB

=(2

PO

)2-2(

OA

-

OP

)•(

OB

-

OP

)=4|

PO

|2-2

OA

•

OB

-2|

OP

|2+2

OP

•(

OA

+

OB

)=2|

OP

|2+2，
又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

OC

=(3，4)點(diǎn)P在圓（x-3）²+（y-4）²=4上，
所以|

OC

|=5，|

CP

|=2，且

OP

=

OC

+

CP

，
所以|

OC

|-|

CP

|≤|

OP

|=|

OC

+

CP

|≤|

OC

|+|

CP

|，
即3≤|

OP

|≤7，故20≤|

PA

|2+|

PB

|2=2|

OP

|2+2≤100，
所以|PA|²+|PB|²的最大值為100，最小值為20．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的方程的綜合運(yùn)用和向量的基本計(jì)算．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．