設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，數(shù)學(xué)公式．
（I）若g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；
（II）求證：f（1+x）≤x（x＞-1）；
（III）求證：數(shù)學(xué)公式．

解：（I）函數(shù)f（x）=lnx的定義域為（0，+∞）
（1分）
則函數(shù)f（x）的定義域也為（0，+∞）
若
∵∴
∴p≥1（4分）
（II）令h（x）=ln（1+x）-x
（5分）
令h'（x）=0?x=0
x（-1，0）（6分）
（0，+∞）
h'（x）+-
∴x=0時，h（x）=h（0）=0
∴x＞-1時，h（x）≤0?ln（x+1）≤x（8分）
（III）由（II），令，則（10分）
=ln（n+1）（13分）
分析：（I）根據(jù)對數(shù)式的真數(shù)大于0，可以求出函數(shù)g（x）的定義域，若g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，則g′（x）≥0在其定義域內(nèi)為恒成立，由此構(gòu)造關(guān)于p的不等式，解不等式即可得到實數(shù)p的取值范圍；
（II）令h（x）=ln（1+x）-x，利用導(dǎo)數(shù)法，我們易求出函數(shù)的最小值，比照后進而得到f（1+x）≤x（x＞-1）恒成立；
（III）由（II）得，當時，則，累加后，整理可得．
點評：本題考查的知識點是導(dǎo)數(shù)在最大值，最小值問題中的應(yīng)用，對數(shù)的運算性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，其中在使用導(dǎo)數(shù)法時，最關(guān)鍵的問題是根據(jù)函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2
（I）若當x=-1時，f（x）取得極值，求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（II）若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln
e2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-
2x
x+2
，證明：當x＞0時，f（x）＞0；
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為P．證明：P＜(
9
10
)19＜
1
e2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•楊浦區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x2-x-6）的定義域為集合A，集合B={x|
5x+1
＞1}．請你寫出一個一元二次不等式，使它的解集為A∩B，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2(a＞
2
)，
（1）若a=
3
2
，解關(guān)于x不等式f(e
x
-
3
2
)＜ln2+
1
4
；
（2）證明：關(guān)于x的方程2x2+2ax+1=0有兩相異解，且f（m）和f（n）分別是函數(shù)f（x）的極小值和極大值（m，n為該方程兩根，且m＞n）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+2x2．
（1）若當x=-1時，f（x）取得極值，求a的值；
（2）在（1）的條件下，方程ln（x+a）+2x2-m=0恰好有三個零點，求m的取值范圍；
（3）當0＜a＜1時，解不等式f（2x-1）＜lna．

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