Question

已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長為a的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點，
（1）PB與CD所成的角的正弦值；
（2）DB與平面DEF所成的面的余弦值；
（3）點B到平面DEF的距離；
（4）二面角F-DE-B的大小的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：建立如圖所示的坐標系，（1）求出

PB

=（a，a，-a），

DC

=（0，a，0），利用向量的夾角公式，即可求PB與CD所成的角的正弦值；
（2）求出平面DEF的法向量，可求DB與平面DEF所成的面的余弦值；
（3）利用DB與平面DEF所成的面的正弦值，求點B到平面DEF的距離；
（4）利用平面DEB的法向量為（0，0，a），平面DEF的法向量為（-1，2，-1），求二面角F-DE-B的大小的正切值．

解答： 解：建立如圖所示的坐標系，則
（1）P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），
∴

PB

=（a，a，-a），

DC

=（0，a，0），
∴cos＜

PB

，

DC

＞=

a2

3 a•a

=

3

3

，
∴PB與CD所成的角的正弦值為

6

3

；
（2）F（

a

2

，

a

2

，

a

2

），E（a，

a

2

，0），∴

DF

=（

a

2

，

a

2

，

a

2

），

DE

=（a，

a

2

，0），
設(shè)平面DEF的法向量為

n

=（x，y，z），則

ax 2 + ay 2 + az 2 =0 ax+ ay 2 =0

，
取y=2，則x=-1，z=-1，∴

n

=（-1，2，-1），
∵

DB

=（a，a，0），
∴DB與平面DEF所成的面的正弦值為

a

6 • 2 a

=

1

12

，
∴DB與平面DEF所成的面的余弦值為

132

12

=

33

6

；
（3）B到平面DEF的距離為h=

1

12

×

2

a=

6

6

a；
（4）∵平面DEB的法向量為（0，0，a），平面DEF的法向量為（-1，2，-1），
∴二面角F-DE-B的大小的余弦值為|

-a

a• 6

|=

6

6

，
∴二面角F-DE-B的大小的正切值為

5

．

點評：本題考查線線角、線面角、面面角，考查點到平面距離的求法，考查向量知識的運用，屬于中檔題．