Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，∠AEB=

π

2

，BC⊥平面ABE，BF⊥CE，垂足為F．
（1）求證：BF⊥平面AEC，
（2）若AB=2BC=2BE=2，求ED與平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過(guò)點(diǎn)A垂直于平面ABE的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BF⊥平面AEC．
（2）求出平面AEC的法向量和

ED

=（-

3

2

，-

3

2

，1），由此能求出直線ED與平面AEC所成角的正弦值．

解答： （1）證明：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過(guò)點(diǎn)A垂直于平面ABE的直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），
D（0，0，1），E（

3

2

，

3

2

，0），F(xiàn)（

3

4

，

7

4

，

1

2

），
∴

BF

=（

3

4

，-

1

4

，

1

2

），

AC

=（0，2，1），

AE

=（

3

2

，

3

2

，0），
∴

BF

•

AC

=0，

BF

•

AE

=0，
∴BF⊥AC，BF⊥AE，
∵AC∩AE=A，∴BF⊥平面AEC．
（2）解：∵AB=2BC=2BE=2，
∴平面AEC的法向量

BE

=(

3

4

，-

1

4

，

1

2

)，

ED

=（-

3

2

，-

3

2

，1），
設(shè)ED與平面AEC所成角為α，
sinα=|cos＜

ED

，

BE

＞|
=|

- 3 8 + 3 8 + 1 2

1 2 ×2

|=

2

4

．
∴ED與平面AEC所成角的正弦值為

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．