19.已知定義在R的函數(shù)f(x)滿足以下條件:
①對任意實數(shù)x,y恒有f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y);
②當x>0時,f(x)>0;
③f(1)=1.
(1)求f(2),f(0)的值;
(2)若f(2x)-a≥af(x)-5對任意x恒成立,求a的取值范圍;
(3)求不等式$f({f(x)})≥\frac{{7-f({x+1})}}{{1+f({x+1})}}$的解集.

分析 (1)令x=y=1可得f(2)=3;令x=y=0可得f(0)=0或f(0)=-1,令x=1,y=0可得f(1)=f(1)f(0)+f(0)+f(1),若f(0)=-1,則f(1)=f(0)=-1與已知矛盾;
(2)f(2x)-a≥af(x)-5對任意x恒成立⇒f2(x)+2f(x)-a≥af(x)-5對任意x恒成立,先探討f(x)=t的取值范圍t∈(-1,+∞),原不等式等價于:t2+2t-a≥at-5在t∈(-1,+∞)恒成立,(3)
(3)f(f(x))≥$\frac{7-f(x+1)}{1+f(x+1)}$⇒[1+f(x+1)]•f(f(x))≥7-f(x+1)⇒f(x+1)•⇒[1+f(x+1)]•f(f(x))≥7-f(x+1)⇒f(x+1)+f(x+1)•f(f(x))+f(f(x))≥7⇒f(x+1+f(x))≥7.再證明函數(shù) y=f(x)在R上單調遞增,原不等式轉化為x+1+f(x)≥3令F(x)=x+1+f(x),F(xiàn)(x)在R上單調遞增F(x)≥F(3)⇒x≥1,

解答 解:(1)令x=y=1可得f(2)=f(1)f(1)+2f(1)=3,
令x=y=0可得f(0)=f(0)f(0)+2f(0),則f(0)=0或f(0)=-1,
令x=1,y=0可得f(1)=f(1)f(0)+f(0)+f(1),若f(0)=-1,則f(1)=f(0)=-1與已知矛盾,∴f(0)=0;
(2)f(2x)-a≥af(x)-5對任意x恒成立⇒f2(x)+2f(x)-a≥af(x)-5對任意x恒成立,
令f(x)=t,以下探討f(x)=t的取值范圍.
令y=-x可得f(0)=f(-x)f(x)+f(x)+f(-x)⇒f(x)=$\frac{-f(-x)}{f(-x)+1}=-1+\frac{1}{f(-x)+1}$,
當x<0時,f-x)>0,則-1<f(x)=$\frac{-f(-x)}{f(-x)+1}=-1+\frac{1}{f(-x)+1}$<0,
∴x∈R時,f(x)=t∈(-1,+∞).
原不等式等價于:t2+2t-a≥at-5在t∈(-1,+∞)恒成立,
即tt2+2t+5≥(t+1)a⇒a≤$\frac{{t}^{2}+2t+5}{t+1}$.
g(t)=$\frac{{t}^{2}+2t+5}{t+1}=t+1+\frac{4}{t+1}≥4$,當t=1時取等號.
∴a≤4.
(3)由(2)可得f(x)∈(-1+∞),f(x+1)∈(-1+∞),
f(f(x))≥$\frac{7-f(x+1)}{1+f(x+1)}$⇒[1+f(x+1)]•f(f(x))≥7-f(x+1)⇒
f(x+1)•⇒[1+f(x+1)]•f(f(x))≥7-f(x+1)⇒
f(x+1)+f(x+1)•f(f(x))+f(f(x))≥7⇒f(x+1+f(x))≥7.
下面證明y=f(x)的單調性:
任取x1,x2∈R,且x1>x2,⇒f(x1-x2)>0,f(x2)>-1
則f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)f(x2)+f(x1-x2)=f(x1-x2)[f(x2)+1]>0
所以函數(shù) y=f(x)在R上單調遞增,
∵f(3)═f(1)f(2)+f(2)+f(1)=7,
∴f(x+1+f(x))≥7⇒.f(x+1+f(x))≥f(3)⇒x+1+f(x)≥3
令F(x)=x+1+f(x),F(xiàn)(x)在R上單調遞增,且F(1)=3
x+1+f(x)≥3?F(x)≥F(3)⇒x≥1,
所以原不等式解集為:[1,+∞).

點評 本題考查了抽象函數(shù)的單調性,及解抽象函數(shù)不等式的技巧,轉化思想是關鍵,屬于基礎題.

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