Question

8．已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前五項(xiàng)和S₅=20，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，解方程可得a₁=2，d=1，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)即可得到；
（2）求得b_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，求得T_n．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{5}=20}\\{{{a}_{3}}^{2}={a}_{1}{a}_{7}}\end{array}\right.$，
即為$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=20}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=4}\\{2etwaspn^{2}={a}_{1}d}\end{array}\right.$，由d≠0，即有$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$，
故a_n=2+n-1=n+1；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．