Question

（2007•武漢模擬）一條直線(xiàn)與平面所成的角為θ （0＜θ＜

π

2

），則此直線(xiàn)與這個(gè)平面內(nèi)任意一條直線(xiàn)所成角中最大角是（　�。�

• A．

  π

  2

• B．π
• C．π-θ
• D．θ

Answer 1

分析：一條直線(xiàn)與平面所成的角為θ，根據(jù)線(xiàn)面夾角的性質(zhì)即最小角定理，我們可以求出這條直線(xiàn)與這個(gè)平面內(nèi)任意一直線(xiàn)所成角的范圍，進(jìn)而求出其最大值，得到正確選項(xiàng)．

解答：證明：已知AB是平面a的斜線(xiàn)，A是斜足，BC⊥平面a，C為垂足，
則直線(xiàn)AC是斜線(xiàn)AB在平面a內(nèi)的射影．
設(shè)AD是平面a內(nèi)的任一條直線(xiàn)，且BD⊥AD，垂足為D，
又設(shè)AB與AD所成的角∠BAD，AB與AC所成的角為∠BAC．
BC⊥平面a mBD⊥AD 由三垂線(xiàn)定理可得：DC⊥AC
sin∠BAD=

BD

AB

，sin∠BAC=

BC

AB

在Rt△BCD中，BD＞BC，
∠BAC，∠BAD是Rt△內(nèi)的一個(gè)銳角所以∠BAC＜∠BAD．
從上面的證明過(guò)程我們可以得到最小角定理：斜線(xiàn)和平面所成角是這條斜線(xiàn)和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線(xiàn)所成的一切角中最小的角
這條斜線(xiàn)和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線(xiàn)所成的一切角中最大的角為90°，
由已知中直線(xiàn)與一個(gè)平面成θ角，
則這條直線(xiàn)與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)斜足的直線(xiàn)所成角的為范圍（θ≤r≤

π

2

）
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線(xiàn)面所成角，以及最小角定理是處理線(xiàn)面夾角轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)夾角最常用的方法，屬于中檔題．