【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.
(1)證明CD⊥AE;
(2)證明PD⊥平面ABE;
(3)求二面角A﹣PD﹣C的正切值.
【答案】
(1)證明:∵PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,∴PA⊥CD,
又AC⊥CD,AC∩PA=A,
∴CD⊥平面PAC,又AE平面PAC,
∴CD⊥AE;
(2)證明:∵PA⊥底面ABCD,AB平面ABCD∴PA⊥AB,
又AD⊥AB,AD∩PA=A
∴AB⊥平面PAD,又PD平面PAD∴AB⊥PD,
由PA=AB=BC,∠ABC=60°,則△ABC是正三角形.
∴AC=AB∴PA=PC
∵E是PC中點∴AE⊥PC
由(1)知AE⊥CD,又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD
∴AE⊥PD,又AB⊥PD,AB∩AE=A
∴PD⊥平面ABE
(3)解:過E點作EM⊥PD于M點,連結(jié)AM,
由(2)知AE⊥平面PCD,則AE⊥PD,
則PD⊥平面AEM,∴AM⊥PD,
則∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角.
設AC=a,AD= = ,PA=A,PD= = a,
AM= = = ,
在Rt△AEM中,AE= a,EM= = = a,
則tan∠AME= = = .
【解析】(1)運用線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可得證CD⊥AE;(2)運用線面垂直的性質(zhì)和判定定理,即可得到PD⊥平面ABE;(3)過E點作EM⊥PD于M點,連結(jié)AM,由(2)知AE⊥平面PCD,則AM⊥PD,則∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角.通過解三角形AEM,即可得到所求值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)F(x)=g(x)+h(x)=ex , 且g(x),h(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),若對任意的x∈(0,+∞),不等式g(2x)≥ah(x)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,2 ]
B.(﹣∞,2 )
C.(﹣∞,2]
D.(﹣∞,2)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sinA+sinC=psinB且 .若角B為銳角,則p的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點為原點,焦點為圓的圓心.經(jīng)過點的直線交拋物線于兩點,交圓于兩點, 在第一象限, 在第四象限.
(1)求拋物線的方程;
(2)是否存在直線,使是與的等差中項?若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在區(qū)間[﹣1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+m的圖象上方,試確定實數(shù)m的范圍.
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【題目】設{an}是等差數(shù)列,下列結(jié)論中正確的是( )
A.若a1+a2>0,則a2+a3>0
B.若a1+a3<0,則a1+a2<0
C.若0<a1<a2 , 則a2
D.若a1<0,則(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,與y= 的奇偶性和單調(diào)性都相同的是( )
A.f(x)=x﹣1
B.f(x)=x
C.f(x)=x2
D.f(x)=x3
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