（本小題滿分12分，（1）小問4分，（2）小問8分）已知為橢圓上兩動點，分別為其左右焦點，直線過點，且不垂直于軸，的周長為，且橢圓的短軸長為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點為橢圓的左端點，連接并延長交直線于點．求證：直線過定點．
（1）；（2）證明詳見解析.

試題分析：（1）結(jié)合圖形及橢圓的定義先得到的周長為，進而根據(jù)條件列出方程組，從中求解即可得出的值，進而可寫出橢圓的方程；（2）由（1）確定，進而設(shè)點，設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程，解出點，設(shè)直線，可得，進而根據(jù)三點共線得出，將點的坐標(biāo)代入并化簡得到，進而求出點的坐標(biāo)，，然后寫出直線的方程并化簡得到，從該直線方程不難得到該直線恒通過定點，問題得證.
（1）依題意有：的周長為

所以，則橢圓的方程為     4分
（2）由橢圓方程可知，點
設(shè)直線，由得，從而，，即點 
同理設(shè)直線，可得               7分
由三點共線可得，即，代入兩點坐標(biāo)化簡可得
               9分
直線，可得點，即
從而直線的方程為
化簡得，即，
從而直線過定點                              12分.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點分別為，點為短軸的一個端點，.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過右焦點，且斜率為的直線與橢圓相交于兩點，為橢圓的右頂點，直線分別交直線于點，線段的中點為，記直線的斜率為.
求證: 為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)拋物線x2＝4y與橢圓＋＝1交于點E，F(xiàn)，則△OEF(O為坐標(biāo)原點)的面積為(　　)
A．3B．4C．6D．12

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓（）的左、右焦點為，右頂點為，上頂點為．已知．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)為橢圓上異于其頂點的一點，以線段為直徑的圓經(jīng)過點，經(jīng)過原點的直線與該圓相切，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓與雙曲線的焦點相同，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為，那么橢圓的離心率等于(    )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

[2013·浙江高考]如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是(　　)
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知兩點、，且是與的等差中項，則動點的軌跡方程是(    ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（12分）（2011•陜西）設(shè)橢圓C：過點（0，4），離心率為
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓C的方程為(m＞0)，如果直線y＝x與橢圓的一個交點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點F，則m的值為(　　)
A．2 B．2
C．8 D．2

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