Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB為圓O的直徑，BE為圓O的切線，點C為圓O上不同于A、B的一點，AD為∠BAC的平分線，且分別與BC交于H，與圓O交于D，與BE交于E，連結(jié)BD、CD．
（Ⅰ）求證：∠DBE=∠DBC
（Ⅱ）若EH=BE=a，求AH．

Answer 1

分析：（I）由AD為∠BAC的平分線得

BD

=

CD

，得出∠DBC=∠BCD，再由弦切角定理得到∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；
（II）根據(jù)AB為圓O的直徑得BD⊥AD，在△BEH利用“三線合一”證出BH=BE，結(jié)合EH=BE=a，得到△BEH是邊長為a的等邊三角形，可得∠E=60°．最后在Rt△ABE中利用三角函數(shù)的定義算出AE=2BE=2a，從而可得AH=AE-EH=a．

解答：解：（I）∵AD為∠BAC的平分線，即∠DAB=∠DAC，
∴

BD

=

CD

，可得∠DBC=∠BCD，
又∵BE與圓O相切于點B，
∴∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；
（II）∵AB為圓O的直徑，∴BD⊥AD，
又∵△BEH中，∠DBE=∠DBC，BD⊥EH，∴BH=BE，
∵EH=BE=a，∴△BEH是邊長為a的等邊三角形，可得∠E=60°，
因此Rt△ABE中，cos∠E=

BE

AB

=

1

2

，可得AE=2BE=2a，
∴AH=AE-EH=a．

點評：本題給出圓的直徑與切線，求證角相等并求線段的長．著重考查了圓的直徑的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理與弦切角定理等知識，屬于中檔題．