Question

20．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，e為雙曲線的離心率，P是雙曲線右支上的點，△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心為I，過F₂作直線PI的垂線，垂足為B，則OB=a．

Answer 1

分析 利用切線長定理，再利用雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=2a，轉(zhuǎn)化為|AF₁|-|AF₂|=2a，從而求得點H的橫坐標．再在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個等腰三角形，從而在三角形F₁CF₂中，利用中位線定理得出OB，從而解決問題．

解答 解：由題意知：F₁（-c，0）、F₂（c，0），內(nèi)切圓與x軸的切點是點A，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，及圓的切線長定理知，
|AF₁|-|AF₂|=2a，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標為x，
則|（x+c）-（c-x）|=2a，
∴x=a．
在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個等腰三角形，PC=PF₂，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
OB=$\frac{1}{2}$CF₁=$\frac{1}{2}$（PF₁-PC）=$\frac{1}{2}$（PF₁-PF₂）=$\frac{1}{2}$×2a=a．
故答案為：a．

點評 本題考查雙曲線的定義、切線長定理．解答的關(guān)鍵是充分利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)．