Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DA=DC=2，，E是C₁D₁的中點，F(xiàn)是CE的中點．
（1）求證：EA∥平面BDF；
（2）求證：平面BDF⊥平面BCE．

Answer 1

解：（1）連接AC交BD于O點，連接OF，可得OF是△ACE的中位線，OF∥AE，
又AE?平面BDF，OF?平面BDF，所以，EA∥平面BDF．
（2）計算可得DE=DC=2，又F是CE的中點，所以DF⊥CE，
又BC⊥平面CDD₁C₁，所以DF⊥BC，又BC∩CE=C，
所以，DF⊥平面BCE，又DF?平面BDF，
所以，平面BDF⊥平面BCE．
分析：（1）連接AC交BD于O點，連接OF，可得OF是△ACE的中位線，OF∥AE，從而證得EA∥平面BDF．
（2）計算可得DE=DC=2，又F是CE的中點，所以DF⊥CE．又BC⊥平面CDD₁C₁，所以DF⊥BC．得到DF⊥平面BCE，
從而證得平面BDF⊥平面BCE．
點評：本題考查證明線線平行、線面平行、面面垂直的方法，直線和平面平行的判定、性質(zhì)，面面垂直的判定定理的應(yīng)用，
證明DF⊥平面BCE，是解題的難點．