【題目】如圖,在三棱柱中,已知四邊形為矩形,,,,的角平分線交于.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)過點作交于,連接,設(shè),連接,由角平分線的性質(zhì),正方形的性質(zhì),三角形的全等,證得,,由線面垂直的判斷定理證得平面,再由面面垂直的判斷得證.
(2)平面幾何知識和線面的關(guān)系可證得平面,建立空間直角坐標系,求得兩個平面的法向量,根據(jù)二面角的向量計算公式可求得其值.
(1)如圖,過點作交于,連接,設(shè),連接,,,
又為的角平分線,四邊形為正方形,,
又,,,,,又為的中點,
又平面,,平面,
又平面,平面平面,
(2)在中,,,,在中,,,
又,,,,
又,,平面,平面,
故建立如圖空間直角坐標系,則,,,
,,,,
設(shè)平面的一個法向量為,則,,
令,得,
設(shè)平面的一個法向量為,則,
,令,得
,由圖示可知二面角是銳角,
故二面角的余弦值為.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
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【題目】(本小題滿分13分)
某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級,等級系數(shù)X依次為1,2,……,8,其中X≥5為標準A,X≥3為標準B,已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價為6元/件;乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價為4元/件,假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標準
(I)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示:
且X1的數(shù)字期望EX1=6,求a,b的值;
(II)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2,從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件,相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本,數(shù)據(jù)如下:
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用這個樣本的頻率分布估計總體分布,將頻率視為概率,求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望.
在(I)、(II)的條件下,若以“性價比”為判斷標準,則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性?說明理由.
注:(1)產(chǎn)品的“性價比”=;
(2)“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.
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【題目】已知 n 個四元集合 A1 , A2 ,…, An ,每兩個有且只有一個公共元 ,并且有Card(A1 ∪ A2 ∪ …∪ An)=n .試求 n 的最大值.這里 Card A 為集合A中元素的個數(shù) .
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率,點是橢圓上的一個動點,面積的最大值是.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是橢圓上不重合的四點,與相交于點,,且,求此時直線的方程.
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【題目】下列說法正確的個數(shù)為( )
①命題“中,若,則”的逆命題是真命題
②若命題,則
③“命題為真命題”是“命題為假命題”的充要條件
④設(shè)均為非零向量,則“”是“與的夾角為銳角”的必要不充分條件
A.1B.2C.3D.4
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【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時,若函數(shù)與函數(shù)的圖像總有兩個交點,設(shè)兩個交點的橫坐標分別為,.
①求的取值范圍;
②求證:.
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【題目】已知函數(shù)的定義域是,有下列四個命題,其中正確的有( )
A.對于(,0),函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)
B.對于(0,),函數(shù)存在最小值
C.存在(,0),使得對于任意,都有成立
D.存在(0,),使得函數(shù)有兩個零點
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【題目】從5名男生和4名女生中選出4人參加辯論比賽.
(1)如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi),那么有多少種不同選法?
(2)如果4個人中既有男生又有女生,那么有多少種不同選法?
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