圓心為I的△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AC、AB于點(diǎn)E、F．設(shè)M為線段EF上一點(diǎn)，證明：△MAB與△MAC面積相等的充分必要條件是MI⊥BC．
考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷
專題：立體幾何
分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合三角形的面積之間關(guān)系以及圓的相關(guān)知識(shí)，即可得到結(jié)論．
解答： 證明：過點(diǎn)M作MP⊥AC、MQ⊥AB，垂足分別為P、Q．圓I切邊BC于點(diǎn)D，
則ID⊥BC，IF⊥AB，IE⊥AC．
顯然AF=AE，
∴∠AFM=∠AEM，
從而推知Rt△QFM：Rt△PEM，得
MQ
MP
=
MF
ME
．
又 
S△MAB
S△MAC
=
1
2
MQ•AB
1
2
MP•AC
=
MQ•AB
MP•AC
=
MF
ME
•
AB
AC
，
∴△MAB與△MAC面積相等的充要條件是
AB
AC
=
ME
MF
．①
由①可知，問題轉(zhuǎn)化為證明：
AB
AC
=
ME
MF
的充分必要條件是MI⊥BC．
首先證明：若MI⊥BC，則
AB
AC
=
ME
MF
．由MI⊥BC可知點(diǎn)M在直線ID上．
∵B、D、I、F四點(diǎn)共圓，
∴∠MIF=∠DBF=∠B，∠MIE=∠ECD=∠C．
又 IE=IF，則由正弦定理得
MF
sin∠MIF
=
FI
sin∠IMF
=
IE
sin(π-∠IMF)
=
ME
sin∠MIE
，
即 
ME
MF
=
sinC
sinB
，而
AB
AC
=
sinC
sinB
．
∴
AB
AC
=
ME
MF
．
其次證明：若
AB
AC
=
ME
MF
，
則MI⊥BC．設(shè)直線ID與EF交于點(diǎn)M'，
則由上述證明可知
AB
AC
=
M′E
M′F
，
于是有
AB
AC
=
M′E
M′F
，從而 M與M’重合．
故命題成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與圓的有關(guān)的幾何證明，難度較大，綜合性較強(qiáng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，圓C通過不同的三點(diǎn)P（m，0）、Q（2，0）、R（0，1），且圓C在點(diǎn)P處的切線的斜率為1，
（Ⅰ）試求圓C的方程．
（Ⅱ）若點(diǎn)A、B是圓C上不同兩點(diǎn)，且滿足
CP
•
CA
=
CP
•
CB
．
（1）試求直線AB的斜率；
（2）若原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，試求直線AB在y軸上的截距的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

與圓x2+（y-2）2=r2相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有四條，則正數(shù)r的取值范圍是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
kx-k+4，x≤1
x2-(k+2)x+k+5，x＞1
（k∈R），且y=f（x）在x∈（-1，5）內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）求x12+x22+x32的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為
5
2
，則C的漸近線方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果f（cosx）=cos2x，那么f（sin30°）的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x2-mx+n（m，n∈R）的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（-1，2）和（2，3）內(nèi)，則m+2n的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=f（x）是R上的增函數(shù)，y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，-3）和B（1，3），且不等式f（2x-1）的絕對(duì)值小于3的解集是
 
．

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