Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，是的中點.

（1）證明：；

（2）若，求二面角平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，連接、，證明平面，從而得出；

（2）證明出平面，可得出、、兩兩垂直，以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，然后計算出平面、的法向量，利用空間向量法求出二面角平面角的余弦值.

（1）證明：取中點，聯結、，

為等邊三角形，為的中點，.

是的中點，為中點，，，.

，平面，

平面，；

（2）由（1）知，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，則、、兩兩垂直，

以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，

則、、、、.

設平面的法向量為，，.

由，得，令，得，，

所以，平面的一個法向量為.

設平面的法向量為，，

由，得，取，得，.

所以，平面的一個法向量為.

則.

結合圖形可知，二面角的平面角為銳角，其余弦值為.