已知：n=
n(n+1)
2
-
(n-1)•n
2
，n•（n+1）=
n•(n+1)•(n+2)
3
-
(n-1)•n•(n+1)
3
．
由以上兩式，可以類比得到n（n+1）（n+2）=
n(n+1)(n+2)(n+3)
4
-
(n-1)•n•(n+1)(n+2)
4
n(n+1)(n+2)(n+3)
4
-
(n-1)•n•(n+1)(n+2)
4
．
分析：根據(jù)n=
n(n+1)
2
-
(n-1)•n
2
，n•（n+1）=
n•(n+1)•(n+2)
3
-
(n-1)•n•(n+1)
3
的特點(diǎn)，類比得到n（n+1）（n+2）的分解式即可．
解答：解：由于：n=
n(n+1)
2
-
(n-1)•n
2
，n•（n+1）=
n•(n+1)•(n+2)
3
-
(n-1)•n•(n+1)
3
…
第一個式子中，右邊是兩個分母是2的分式的差，分子兩個連續(xù)自然數(shù)的積；
第二個式子中，右邊是兩個分母是3的分式的差，分子三個連續(xù)自然數(shù)的積；
可由類比推理可得“n（n+1）（n+2）=
n(n+1)(n+2)(n+3)
4
-
(n-1)•n•(n+1)(n+2)
4
．
故答案為：
n(n+1)(n+2)(n+3)
4
-
(n-1)•n•(n+1)(n+2)
4
．
點(diǎn)評：本題考查類比推理，解答本題的關(guān)鍵是：找出兩類事物的相似性或一致性，得出一個明確的命題（猜想）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(
x
+
2
)2(x＞0)，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=2，前n 項(xiàng)和Sn滿足Sn=f（Sn-1）（n＞1，且n∈N*）．
（1）求an的表達(dá)式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線ln的斜率為an，且ln與曲線y=x2相切，ln又與y軸交于點(diǎn)Dn（0，bn），當(dāng)n∈N*時，記dn=
1
4
|
Dn+1Dn
|-1，若Cn=
d
2
n+1
+
d
2
n
2dn+1dn
，求數(shù)列cn的前n 項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）對任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）=2f（x+1），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=
27
4
x2（1-x）．
（Ⅰ）已知n∈N+，當(dāng)x∈[n，n+1]時，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求證：對于任意的n∈N+，當(dāng)x∈[n，n+1]時，都有|f（x）|≤
1
2n
；
（Ⅲ）對于函數(shù)y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的圖象上存在點(diǎn)P，使經(jīng)過點(diǎn)P的切線與直線x+y=1平行，那么這樣點(diǎn)有多少個？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)y=f（x）對任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）=2f（x+1），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=數(shù)學(xué)公式x2（1-x）．
（Ⅰ）已知n∈N+，當(dāng)x∈[n，n+1]時，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求證：對于任意的n∈N+，當(dāng)x∈[n，n+1]時，都有|f（x）|≤數(shù)學(xué)公式；
（Ⅲ）對于函數(shù)y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的圖象上存在點(diǎn)P，使經(jīng)過點(diǎn)P的切線與直線x+y=1平行，那么這樣點(diǎn)有多少個？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)函數(shù)y=f（x）對任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）=2f（x+1），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=
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4
x2（1-x）．
（Ⅰ）已知n∈N+，當(dāng)x∈[n，n+1]時，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求證：對于任意的n∈N+，當(dāng)x∈[n，n+1]時，都有|f（x）|≤
1
2n
；
（Ⅲ）對于函數(shù)y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的圖象上存在點(diǎn)P，使經(jīng)過點(diǎn)P的切線與直線x+y=1平行，那么這樣點(diǎn)有多少個？并說明理由．

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