【題目】給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為．

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個交點(diǎn)．求證：⊥.

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)由題意分別確定a,b,c的值即可求得橢圓方程和準(zhǔn)圓方程；

(2)分類討論直線的斜率存在和直線斜率不存在兩種情況即可證得題中的結(jié)論.

（1）因?yàn)?/span>，所以

所以橢圓的方程為， 準(zhǔn)圓的方程為.

（2）①當(dāng)中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，

因?yàn)?/span>與橢圓只有一個公共點(diǎn)，則其方程為或，

當(dāng)方程為時，此時與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)

此時經(jīng)過點(diǎn)（或且與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線是：(或，

即為(或，顯然直線垂直；

同理可證方程為時，直線垂直.

②當(dāng)都有斜率時，設(shè)點(diǎn)其中，

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為，

則，消去得到，

即，

，

經(jīng)過化簡得到：，

因?yàn)?/span>，所以有，

設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?/span>與橢圓都只有一個公共點(diǎn)，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了選派學(xué)生參加“廈門市中學(xué)生知識競賽”，某校對本校2000名學(xué)生進(jìn)行選拔性測試，得到成績的頻率分布直方圖（如圖）.規(guī)定：成績大于或等于110分的學(xué)生有參賽資格，成績110分以下（不包括110分）的學(xué)生則被淘汰.

（1）求獲得參賽資格的學(xué)生人數(shù)；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估算這2000名學(xué)生測試的平均成績（同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間點(diǎn)值作代表）；

（3）若知識競賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中有兩種答題方案：

方案一：每人從5道備選題中任意抽出1道，若答對，則可參加復(fù)賽，否則被淘汰；

方案二：每人從5道備選題中任意抽出3道，若至少答對其中2道，則可參加復(fù)賽，否則被海汰.

已知學(xué)生甲只會5道備選題中的3道，那么甲選擇哪種答題方案，進(jìn)入復(fù)賽的可能性更大？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】ABC的三個頂點(diǎn)A(－3,0),B(2,1),C(－2,3)．求：

（Ⅰ）BC邊上中線AD所在直線的方程；

（Ⅱ）BC邊上高線AH所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)滿足:對于任意正數(shù)，都有，且，則稱函數(shù)為“L函數(shù)”．

（1）試判斷函數(shù)與是否是“L函數(shù)”；

（2）若函數(shù)為“L函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)為“L函數(shù)”，且，求證：對任意，都有．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）證明：（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：

（1）過定點(diǎn)A（－3，4）；

（2）斜率為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)滿足：

①；②在區(qū)間內(nèi)有最大值無最小值；

③在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值；④經(jīng)過

（1）求的解析式；

（2）若，求值;

（3）不等式的解集不為空集，求實(shí)數(shù)的范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（1）求異面直線與所成的角；

（2）求證：平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)、分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，，直線1過且垂直于x軸，交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，連接A、B、，所組成的三角形為等邊三角形。

（1）求橢圓C的方程；

（2）過右焦點(diǎn)的直線m與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，試問：橢圓C上是否存在點(diǎn)P，使成立？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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