Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在線段BD₁上，當(dāng)∠APC最大時(shí)，三棱錐P-ABC的體積為

1

18

．

Answer 1

分析：連接AC交BD于O，連接PO，則∠APC=2∠APO，由tan∠APO=

AO

PO

，知PO⊥BD₁時(shí)，∠APO最大，由此能求出三棱錐P-ABC的體積．

解答：解：連接AC交BD于O，連接PO，則∠APC=2∠APO，
∵tan∠APO=

AO

PO

，
∴當(dāng)PO最小時(shí)，∠APO最大，
即PO⊥BD₁時(shí)，∠APO最大，
如圖，作PE⊥BD于E，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長(zhǎng)為1，
∴BD=

2

，BD₁=

3

，
∵OP⊥BD₁，PE⊥BD，
∴△BDD₁∽△BPO∽△PEO，
∴

OP

DD1

=

OB

BD1

，

PE

BD

=

OP

BD1

，
∴OP=

OB×DD1

BD1

=

2 2 ×1

3

=

6

6

，
PE=

BD×OP

BD1

=

2 × 6 6

3

=

1

3

，
∴三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

×S△ABC×PE=

1

3

×

1

2

×12×

1

3

=

1

18

．
故答案為：

1

18

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．