Question

設(shè)拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A在拋物線上，已知以F為圓心、FA為半徑的圓交l于B、D兩點(diǎn)．
（1）若∠BFD=90°，求△ABD的面積；
（2）若A、B、F三點(diǎn)在同一條直線m上，求直線m的方程．

Answer 1

分析：（1）如圖所示．設(shè)準(zhǔn)線l與y軸相交于點(diǎn)M．則|FM|=p=2．由∠BFD=90°，BF=DF，可得BM=DM=2，DF=2

2

=R=FA．于是點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離d=2

2

．利用△ABD的面積S=

1

2

|BD|×d．
（2）由題意A、B、F三點(diǎn)在同一條直線m上，由直徑所對的圓周角為直角，可得∠ADB=90°．
利用拋物線的定義可得|AD|=|AF|=

1

2

|AB|，得到∠ABD=30°．即可得到直線m的斜率為±

3

3

．得到直線m的方程．

解答：解：（1）如圖所示．
設(shè)準(zhǔn)線l與y軸相交于點(diǎn)M．則|FM|=p=2．
∵∠BFD=90°，BF=DF，
∴BM=DM=2，DF=2

2

=R=FA．
∴點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離d=2

2

．
∴△ABD的面積S=

1

2

|BD|×d=

1

2

×4×2

2

=4

2

．
（2）由題意A、B、F三點(diǎn)在同一條直線m上，
∴∠ADB=90°．
|AD|=|AF|=

1

2

|AB|，
∴∠ABD=30°．
∴直線m的斜率為±

3

3

．
∴直線m的方程為y=±

3

3

x+1．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)、直線的方程等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．