Question

如圖，在四棱錐中，，，且DB平分，
E為PC的中點(diǎn)，,                                 
（Ⅰ）證明 
（Ⅱ）證明
（Ⅲ）求直線BC與平面PBD所成的角的正切值

Answer 1

證明見解析 (3)正切值為。

（Ⅰ）要證明只需證明 E為PC的中點(diǎn)，在找一中點(diǎn)，構(gòu)成中位線，得出平行；
（Ⅱ）證明，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214831248708.png" style="vertical-align:middle;" />所以，
再找
BC在平面PBD內(nèi)的射影，做垂線BH,也可證明，BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，所以為直線與平面PBD所成的角。
證明：設(shè)，連結(jié)EH，在中，因?yàn)锳D=CD，且DB平分，所以H為AC的中點(diǎn)，又有題設(shè)，E為PC的中點(diǎn)，故,又
,所以
（2）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214831248708.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以
由（1）知，,故
(3)解：由可知，BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，所以為直線與平面PBD所成的角。
由,
在中，,所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為。