【題目】已知函數(shù)f(x),g(x)1.
(1)若f(a)=2,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并證明;
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=g(x)(x>0),若h(2t)+mh(t)+4>0對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)a=log23;(2)函數(shù)f(x)在(﹣∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞減,證明見(jiàn)解析(3)[﹣3,+∞).
【解析】
(1)根據(jù)f(a)=2,代入解析式求解.
(2)函數(shù)f(x)在(﹣∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞減,用單調(diào)性的定義證明.
(3)化簡(jiǎn)得到,將0對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t恒成立,通過(guò)換元,μ∈(2,+∞),轉(zhuǎn)化為μ2+mμ+2>0對(duì)任意μ∈(2,+∞)恒成立,即對(duì)任意μ∈(2,+∞)恒成立,再求解最大值即可.
(1)∵,
∴2a=3,
∴a=log23;
(2)函數(shù)f(x)在(﹣∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞減,
證明如下:
函數(shù)的定義域?yàn)椋ī?/span>∞,0)∪(0,+∞),
因?yàn)?/span>f(-x)
所以f(x)是奇函數(shù)
任取且
,
因?yàn)?/span>
所以
因?yàn)?/span>
所以
所以
所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
又因?yàn)?/span>f(x)是奇函數(shù)
故函數(shù)f(x)在(﹣∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞減;
(3),,
∴0對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t恒成立,
令,則μ∈(2,+∞),
∴μ2+mμ+2>0對(duì)任意μ∈(2,+∞)恒成立,
即對(duì)任意μ∈(2,+∞)恒成立,
又在(2,+∞)上單調(diào)遞減,故,
則m≥﹣3,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[﹣3,+∞).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】點(diǎn)P為棱長(zhǎng)是2的正方體的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M為的中點(diǎn),若滿足,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足,,其中,,,.
⑴若,,(),求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
⑵若數(shù)列是等比數(shù)列,求,的值;
⑶若,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.
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【題目】某市有一家大型共享汽車公司,在市場(chǎng)上分別投放了黃、藍(lán)兩種顏色的汽車,已知黃、藍(lán)兩種顏色的汽車的投放比例為.監(jiān)管部門為了了解這兩種顏色汽車的質(zhì)量,決定從投放到市場(chǎng)上的汽車中隨機(jī)抽取5輛汽車進(jìn)行試駕體驗(yàn),假設(shè)每輛汽車被抽取的時(shí)能性相同.
(1)求抽取的5輛汽車中恰有2輛是藍(lán)色汽車的概率;
(2)在試駕體驗(yàn)過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)藍(lán)色汽車存在一定質(zhì)量問(wèn)題,監(jiān)管部門決定從投放的汽車中隨機(jī)地抽取一輛送技術(shù)部門作進(jìn)一步抽樣檢測(cè),并規(guī)定:若抽取的是黃色汽車.則將其放回市場(chǎng),并繼續(xù)隨機(jī)地抽取下一輛汽車;若抽到的是藍(lán)色汽車,則抽樣結(jié)束;并規(guī)定抽樣的次數(shù)不超過(guò)次,在抽樣結(jié)束時(shí),若已取到的黃色汽車數(shù)以表示,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知冪函數(shù)f(x)=(3m2﹣2m)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)=x2﹣4x+t.
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)當(dāng)x∈[1,9]時(shí),記f(x),g(x)的值域分別為集合A,B,設(shè)命題p:x∈A,命題q:x∈B,若命題q是命題p的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線過(guò)點(diǎn),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(3)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,求證:.
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【題目】下列關(guān)于命題的說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.命題“若x2﹣3x+2=0,則x=2”的逆否命題為“若x≠2,則x2﹣3x+2≠0”
B.“a=2”是“函數(shù)f(x)=ax在區(qū)間(﹣∞,+∞)上為增函數(shù)”的充分不必要條件
C.命題“x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“x∈R,均有x2+x+1≥0”
D.“若f ′()=0,則為y=f(x)的極值點(diǎn)”為真命題
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【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)函數(shù)的圖象能否與軸相切?若能,求出實(shí)數(shù)a,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅱ)求最大的整數(shù),使得對(duì)任意,不等式
恒成立.
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