Question

5．若曲線y=alnx與曲線y=$\frac{1}{2e}$x²在它們的公共點(diǎn)P（s，t）處具有公共切線，則$\frac{t}{s}$=$\frac{\sqrt{e}}{2e}$．

Answer 1

分析 求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后求出公共點(diǎn)的斜率，利用斜率相等且有公共點(diǎn)聯(lián)立方程組即可求出a的值．

解答 解：曲線y=alnx的導(dǎo)數(shù)為：y′=$\frac{a}{x}$，在P（s，t）處的斜率為：k=$\frac{a}{s}$．
曲線y=$\frac{1}{2e}$x²的導(dǎo)數(shù)為：y′=$\frac{x}{e}$，在P（s，t）處的斜率為：k=$\frac{s}{e}$．
由曲線y=alnx（a≠0）與曲線y=$\frac{1}{2e}$x²在它們的公共點(diǎn)P（s，t）處具有公共切線，
可得$\frac{a}{s}$=$\frac{s}{e}$，并且t=$\frac{{s}^{2}}{2e}$=alns，
得lns=$\frac{1}{2}$，∴s²=e．
則a=1，
∴t=$\frac{1}{2}$，s=$\sqrt{a}$，即$\frac{t}{s}=\frac{{\sqrt{e}}}{2e}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{e}}{2e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的斜率以及切線方程的求法，考查計(jì)算能力，是中檔題．