Question

（1）已知直線C1：

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)），C2：

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)α=

π

3

時(shí)，求C₁與C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）過坐標(biāo)原點(diǎn)O做C₁的垂線，垂足為A，P為OA中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程．
（2）已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿足a²+4b²+c²=3．
（I）求a+2b+c的最大值；
（II）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）分別消去直線C₁、曲線C₂參數(shù)，Z在把α代入聯(lián)立即可得出；
（Ⅱ）由直線OA⊥直線C₁，可得出直線OA的方程，與直線C₁的方程聯(lián)立即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出線段OA的中點(diǎn)P的參數(shù)方程．
（2）（Ⅰ）利用柯西不等式即可求出；
（Ⅱ）對于滿足條件的正實(shí)數(shù)a、b、c不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立?|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）_max，利用（Ⅰ）的結(jié)論，再解出絕對值的不等式即可得出x的取值范圍．

解答：解：（1）（Ⅰ）由直線C1：

x=1+tcosα y=tsinα

消去參數(shù)t得y=tanα（x-1），當(dāng)α=

π

3

時(shí)，y=

3

(x-1)，
由曲線C2：

x=cosθ y=sinθ

消去參數(shù)θ得x²+y²=1，
聯(lián)立

y= 3 (x-1) x2+y2=1

，消去y化為2x²-3x+1=0，解得x=1或

1

2

，
分別代入y=

3

(x-1)解得y=0，-

3

2

，∴

x=1 y=0

或

x= 1 2 y=- 3 2

，
∴C₁與C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），(

1

2

，-

3

2

)；
（Ⅱ）∵OA⊥直線C₁，∴直線OA的方程為y=-

1

tanα

x，
聯(lián)立

y=- x tanx y=tanα(x-1)

解得

x=sin2α y=-sinαcosα

．
當(dāng)α?xí)r，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)P的參數(shù)方程為

x= 1 2 sin2α y=- 1 2 sinαcosα

（α為參數(shù)）．
（2）（I）由柯西不等式得：（a²+4b²+c²）（1+1+1）≥（a+2b+c）²
又a、b、c為正實(shí)數(shù)，∴a+2b+c≤3．
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=c，即a=c=1，b=

1

2

時(shí)取等號．
∴（a+2b+c）_max=3．  
（II）若對于滿足條件的正實(shí)數(shù)a、b、c不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立．
則|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）_max，
即|x-5|-|x-1|≥3．
記f（x）=|x-5|-|x-1|=

4，當(dāng)x＜1時(shí) -2x+6，當(dāng)1≤x≤5時(shí) -4，當(dāng)x＞5時(shí)

，
作函數(shù)的圖象如圖所示：
由-2x+6=3，得x=

3

2

，
由圖象知，實(shí)數(shù)x滿足的區(qū)間為(-∞，

3

2

]．

點(diǎn)評：熟練掌握把參數(shù)方程化為普通方程的方法、相互垂直的直線的斜率之間的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、柯西不等式及恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化、解絕對值不等式的分類討論方法是解題的關(guān)鍵．