Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+x²+bx+1在x=1和x=2處都有極值，求a，b，并求出此函數(shù)的極值．

Answer 1

分析 由f′（1）=0，f′（2）=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{9}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，由導(dǎo)數(shù)的符號確定極大、極小值即可．

解答 解：f′（x）=3ax²+2x+b，
∵函數(shù)f（x）=ax³+x²+bx+1在x=1和x=2處都有極值．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+2+b=0}\\{f′（2）=12a+4+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{9}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，經(jīng)檢驗符合題意．
∴$f′（x）=-\frac{2}{3}{x}^{2}+2x-\frac{4}{3}$，
x∈（-∞，1），（2，+∞）時，f′（x）＜0，x∈（1，2）時，f′（x）＞0．
函數(shù)的增區(qū)間為（1，2）
∴函數(shù)有極小值f（1）=a+1+b+1=$\frac{4}{9}$．函數(shù)有極大值f（2）=8a+4+2b+1=$\frac{5}{9}$

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．