Question

16．由于春運(yùn)的到來(lái)，南昌火車(chē)站為舒緩候車(chē)室人流的壓力，決定在候車(chē)大樓外建立臨時(shí)候車(chē)區(qū)，其中K288次列車(chē)候車(chē)區(qū)是一個(gè)總面積為50m²的矩形區(qū)域（如圖所示），矩形場(chǎng)地的一面利用候車(chē)廳大樓外墻（長(zhǎng)度為12m），其余三面用鐵欄桿圍，并留一個(gè)長(zhǎng)度為2m的入口．現(xiàn)已知鐵欄桿的租用費(fèi)用為80元/m．設(shè)該矩形區(qū)域的長(zhǎng)為x （單位：m），租用鐵欄桿的總費(fèi)用為y（單位：元）
（1）將y表示為x的函數(shù)，并求出租用此區(qū)域所用鐵欄桿所需費(fèi)用最小值及相應(yīng)的x；
（2）若所需總費(fèi)用不超過(guò)2160元，則x的取值范圍是多少？

Answer 1

分析 （1）由題意得矩形的長(zhǎng)為x-2，寬為$\frac{50}{x}$，鐵欄桿的租用費(fèi)用為80元/m，由此得出y關(guān)于x的表達(dá)式，將其化簡(jiǎn)后，利用基本不等式求出費(fèi)用最小值，并求出不等式等號(hào)成立時(shí)x的值；
（2）由y≤2160，運(yùn)用二次不等式的解法，化簡(jiǎn)整理，即可得到x的范圍．

解答 解：（1）該矩形區(qū)域的長(zhǎng)為xm，寬為$\frac{50}{x}$m，
依題意有y=80（$\frac{50}{x}$•2+x-2），其中2＜x≤12，
由均值不等式可得：$y=80（\frac{100}{x}+x-2）≥80（2\sqrt{100}-2）=1440$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{100}{x}=x$即x=10時(shí)取“=”號(hào)．
綜上：當(dāng)x=10m時(shí)，租用此區(qū)域所用鐵欄桿所需費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為1440元．
（2）由題意可得$y=80（\frac{100}{x}+x-2）≤2160$，
∴$\frac{100}{x}+x-2≤27$，
∴x²-29x+100≤0，
∴（x-25）（x-4）≤0，
∴4≤x≤25，
又∵x≤12
∴4≤x≤12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，注意等號(hào)成立的條件，認(rèn)真審題并列出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．