Question

10．京劇是我國的國粹，是“國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”，為紀念著名京劇表演藝術(shù)家、京劇藝術(shù)大師梅蘭芳先生，某市電視臺舉辦《我愛京劇》的比賽，并隨機抽取100位參與《我愛京劇》比賽節(jié)目的票友的年齡作為樣本進行分析研究（全部票友的年齡都在[30，80]內(nèi)），樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，由此得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）若抽取的這100位參與節(jié)目的票友的平均年齡為53，據(jù)此估計表中a，b的值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的終點值作代表）；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若按分層抽樣的方式從中再抽取20人，參與有關(guān)京劇知識的問答，分別求抽取的年齡在[60，70）和[70，80]的票友中人數(shù)；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中抽取的人數(shù)，從年齡在[60，80）的票友中任選2人，求這兩人年齡都在[60，70）內(nèi)的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程組，能求出a，b．
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)年齡能求出在[60，70）的票友和年齡在[70，80]的票友需抽取的人數(shù)．
（Ⅲ）設(shè)年齡在[70，80]歲的票友這A，在[60，70）歲的票友為a，b，c，d，則從中抽取從中抽取2人的基本事件總數(shù)有n=${C}_{5}^{2}$=10，利用列舉法能求求出這兩人年齡都在[60，70）內(nèi)的概率．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖得：
$\left\{\begin{array}{l}{（0.01+0.03+b+0.02+a）×10=1}\\{0.1×35+0.3×45+10b×55+0.2×65+10a×75=53}\end{array}\right.$，
解得a=0.005，b=0.035．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知樣本年齡在[70，80）歲的票友共有0.05×100=5人，
樣本年齡在[60，70）歲的票友共有0.2×100=20人，
樣本年齡在[50，60）歲的票友共有0.35×100=35人，
樣本年齡在[40，50）歲的票友共有0.3×100=30人，
樣本年齡在[30，40）歲的票友共有0.1×100=10人，
∴年齡在[60，70）的票友需抽取20×$\frac{20}{100}$=4人，
年齡在[70，80]的票友需抽取5×$\frac{20}{100}=1$人．
（Ⅲ）設(shè)年齡在[70，80]歲的票友這A，在[60，70）歲的票友為a，b，c，d，
則從中抽取從中抽取2人的基本事件總數(shù)有n=${C}_{5}^{2}$=10，
這兩人年齡都在[60，70）內(nèi)的基本事件有：
（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6種，
這兩人年齡都在[60，70）內(nèi)的概率P=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．