Question

【題目】如圖所示，在三棱柱中，，，，分別為棱，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若，，，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見證明（2）

【解析】

(1)本題首先可借助題目所給出的條件證得以及，然后根據(jù)線面垂直的判定即可證得平面；

(2)本題首先可以做于點(diǎn)，然后借助(1)中結(jié)論證得為四棱錐的高，再然后通過(guò)題意計(jì)算得底面矩形的面積以及高的長(zhǎng)，最后通過(guò)四棱錐的體積計(jì)算公式即可得出結(jié)果。

（1）在三棱柱中，，，，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，故，

因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)?/span>，平面，

所以平面；

（2）作于點(diǎn)，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面平面，

因?yàn)?/span>平面，平面平面，，

所以平面，即為四棱錐的高，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

因?yàn)?/span>，分別為棱，的中點(diǎn)，所以，且，

故四邊形為平行四邊形，所以，且，

所以，即四邊形為矩形，

因?yàn)?/span>，，所以矩形的面積，

因?yàn)?/span>，，，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

在中，，，，

所以，即，

所以，故，

所以四棱錐的體積.