Question

（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)．

（Ⅰ）若是的中點(diǎn)，求證：//平面；

（Ⅱ）求證： ；

（Ⅲ）若，，當(dāng)三棱錐的體積等于時(shí)，試判斷點(diǎn)在邊 上的位置，并說明理由.

Answer 1

點(diǎn)F為邊PD上靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：

在中，因?yàn)辄c(diǎn)E是BD中點(diǎn)，點(diǎn)F是PD中點(diǎn)，

所以//．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060206024961224382/SYS201506020602557935970175_DA/SYS201506020602557935970175_DA.004.png">平面，平面，

所以//平面．

（Ⅱ）證明：

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060206024961224382/SYS201506020602557935970175_DA/SYS201506020602557935970175_DA.008.png">平面，

且平面，

所以．

又因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060206024961224382/SYS201506020602557935970175_DA/SYS201506020602557935970175_DA.009.png">是正方形，且點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，

所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060206024961224382/SYS201506020602557935970175_DA/SYS201506020602557935970175_DA.014.png">，所以平面，

而平面，所以．

（Ⅲ）點(diǎn)F為邊PD上靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)．

說明如下：

由（Ⅱ）可知，平面．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060206024961224382/SYS201506020602557935970175_DA/SYS201506020602557935970175_DA.008.png">平面，平面，所以.

設(shè)． 由AB=2得，

所以．

由已知， 所以x=2．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060206024961224382/SYS201506020602557935970175_DA/SYS201506020602557935970175_DA.026.png">，點(diǎn)F為邊PD上靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)．

考點(diǎn)：本題考查線線垂直的證明，等體積法求三棱錐的體積