Question

6．已知M為拋物線y²=4x上的一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線4x-3y+8=0的距離為d₁；點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離為d₂．則d₁+d₂的最小值為$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 如圖點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過(guò)焦點(diǎn)F作直線4x-3y+8=0的垂線，此時(shí)d₁+d₂最小，根據(jù)拋物線方程求得F，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式求得d₁+d₂的最小值．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），準(zhǔn)線方程為：x=-1，
如圖點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，
過(guò)焦點(diǎn)F作直線4x-3y+8=0的垂線，此時(shí)d₁+d₂最�。�
∵F（1，0），則d₁+d₂=$\frac{|4+8|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}$-1=$\frac{7}{5}$，
故答案為：$\frac{7}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式的應(yīng)用．解此類題設(shè)宜先畫(huà)出圖象，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．