Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項和S_n滿足Sn2=an(Sn-

1

2

)．
（Ⅰ） 求S_n的表達式；
（Ⅱ） 設(shè)b_n=

Sn

2n+1

，數(shù)列{b_n}的前n項和Tn．證明Tn＜

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，利用已知條件推出{

1

Sn

}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，即可求S_n的表達式；
（Ⅱ）通過b_n=

Sn

2n+1

，化簡表達式，利用裂項法數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，即可證明Tn＜

1

2

．

解答： 解：（Ⅰ）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
代入Sn2=an(Sn-

1

2

)，
得2S_nS_n-1+S_n-S_n-1=0…（2分），
由于S_n≠0，所以

1

Sn

-

1

Sn-1

=2…（4分）
所以{

1

Sn

}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列…（5分）
從而

1

Sn

=1+(n-1)×2=2n-1，所以Sn=

1

2n-1

…（8分）
（Ⅱ）b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

) …（10分）
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]…（12分）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

…（13分）
所以Tn＜

1

2

…（14分）

點評：本題考查數(shù)列求法的方法裂項法的應(yīng)用，數(shù)列是等差數(shù)列的判斷，考查計算能力．