Question

汶川大地震后，為了消除某堰塞湖可能造成的危險，救授指揮部商定，給該堰塞湖挖一個橫截面為等腰梯形的簡易引水槽（如圖所示）進行引流，已知等腰梯形的下底與腰的長度都為a，且水槽的單位時間內的最大流量與橫載面的面積為正比，比例系數k＞0．
（1）試將水槽的最大流量表示成關于θ的函數f（θ）；
（2）為確保人民的生命財產安全，請你設計一個方案，使單位時間內水槽的流量最大（即當θ為多大時，單位時間內水槽的流量最大）．

Answer 1

分析：（1）利用三角形面積公式表示出水槽的最大流量，注意變量角的取值范圍；
（2）利用（1）中的函數式，借助導數知識求出函數的最值，即將設計方案問題轉化成最優(yōu)化問題（最值）解決．

解答：解：（1）設水槽的橫截面面積為s，
則s=

1

2

[a+(a+2acosθ)]•asinθ=a2sinθ(1+cosθ).
所以f(θ)=ks=a2ksinθ(1+cosθ)，θ∈(0，

π

2

).
（2）因為f'（θ）=a²k（2cos²θ+cosθ-1），
令f'（θ）=0，則2cos²θ+cosθ-1=0．
解得cosθ=

1

2

或cosθ=-1，
由0＜θ＜

π

2

知cosθ≠-1，所以cosθ=

1

2

，θ=

π

3

.
當0＜θ＜

π

3

時，f'（θ）＞0，即f（θ）在(0，

π

3

)上遞增，
當

π

3

＜θ＜

π

2

時，f'（θ）＜0，即f（θ）在(

π

3

，

π

2

)上遞減，
所以當θ=

π

3

時，水槽的流量最大，
即設計成θ=

π

3

的等腰梯形引水槽，可使單位時間內水槽的流量最大．

點評：本題主要考查函數在實際生活中的應用、解三角形知識和利用導數求函數最值的方法，解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．