Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=$\frac{n}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1，a₁=$\frac{1}{2}$，當(dāng)n≥2時(shí)，${a_1}+2{a_2}+{2^2}{a_3}+$$…+{2^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{2}$，${a_1}+2{a_2}+{2^2}{a_3}+$$…+{2^{n-2}}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{2}$，兩式相減，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由${b_n}=\frac{n}{2^n}$，利用錯(cuò)位相減法，即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_1}+2{a_2}+{2^2}{a_3}+$$…+{2^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{2}$，①
${a_1}+2{a_2}+{2^2}{a_3}+$$…+{2^{n-2}}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{2}$，②
①-②得：${a_n}=\frac{1}{2^n}$（n≥2），
則a₁也符合上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式${a_n}=\frac{1}{2^n}$；
（2）由（1）可知：${b_n}=\frac{n}{2^n}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
則$\frac{1}{2}$T_n=1×$\frac{1}{{2}^{2}}$+2×$\frac{1}{{2}^{3}}$+3×$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=1×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列前n項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．