Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+x，a≠0
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=

2

3

，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分導(dǎo)函數(shù)的判別式小于等于0和大于0兩種情況討論，判別式小于等于0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0，原函數(shù)在實(shí)數(shù)集上為增函數(shù)，判別式大于0時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，根據(jù)在不同區(qū)間段內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求解原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）把a(bǔ)=

2

3

代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到函數(shù)的極值點(diǎn)，求出極大值和極小值利用數(shù)形結(jié)合的解題思想得到答案．

解答：解：（1）由f（x）=x³-3ax²+x，得f′（x）=3x²-6ax+1．
當(dāng)△=36a²-12≤0，即-

3

3

≤a≤

3

3

時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)a＜-

3

3

或a＞

3

3

時(shí)，
由x＜a-

3

3

3a2-1

，得f′（x）＞0．
由x＞a+

3

3

3a2-1

，得f′（x）＞0．
由a-

3

3

3a2-1

＜x＜a+

3

3

3a2-1

，得f′（x）＜0．
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為(-∞，a-

3

3

3a2-1

)，(a+

3

3

3a2-1

，+∞)．
減區(qū)間為(a-

3

3

3a2-1

，a+

3

3

3a2-1

)；
（2）當(dāng)a=

2

3

時(shí)，f（x）=x³-2x²+x．
f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．
當(dāng)x∈(-∞，

1

3

)時(shí)，f′（x）＞0．
當(dāng)x∈(

1

3

，1)時(shí)，f′（x）＜0．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
所以f（x）的極大值為f(

1

3

)=

4

27

．
f（x）的極小值為f（1）=0．
所以，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍是(0，

4

27

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬中高檔題．